PERNYATAAN
Pernyataan adalah suatu kalimat yang
mempunyai nilai benar saja atau nilai salah saja, akan tetapi tidak sekaligus
benar dan salah .
Contohnya
:
1.
Dalam satu minggu ada tujuh
hari
2.
Hasil kali dari 4 x 6
adalah 25
Pembahasan
:
1.
Dalam satu minggu ada tujuh hari merupakan pernyataan yang bernilai BENAR.
2.
Hasil
kali dari 4 x 6 adalah 25 merupakan pernyataan yang bernilai SALAH .
KALIMAT TERBUKA
Kalimat Terbuka adalah suatu kalimat yang
belum dapat
ditentukan nilai benar saja atau nilai salah saja .
Contohnya
:
1.
8x – 6 = 10
2.
Wanita berambut panjang
terlihat cantik .
-1 = 0
Penyelesaian
:
1.
8x – 6 =10 merupakan
kalimat terbuka . Untuk x = 2 bernilai benar dan untuk x yang lain bernilai
salah .
2.
Wanita berambut panjang
terlihat cantik . Merupakan kalimat Terbuka karena kata “Cantik” bersifat subjektif.
Sebagian orang mungkin mengatakan “benar” terhadap kalimat tsb namun sebagian
lagi mengatakan kalimat itu “salah” . Dengan demikian kebenaran kalimat itu
tunggal .
3.
Untuk x = 1 , -1 = 0 bernilai benar
,sdangkan x = 2 bernilai salah . karena pernah bernilai salah dan benar
maka -1 = 0 , merupakan kalimat terbuka .
NEGASI
Negasi (Ingkaran) dari pernyataan adalah
suatu pernyataan baru yang diperoleh dari pernyataan semula sedemikian sehingga
bernilai benar jika pernyataan semula salah dan bernilai salah jika pernataan
semula benar . Dengan kata lain , semua pernyataan dengan negasinya mempunyai
nilai kebenaran yang berlawanan .
Contohnya
:
Tentukan negasi dari pernyataan berikut :
1.
81 adalah hasil kali dari 9
x 9 .
2.
2, 4, dan 6 adalah bilangan
genap
Penyelesaian
:
1.
Misalkan n : 81 adalah
hasil kali dari 9 x 9 .
2.
Misalkan m : 81 bukan hasil kali dari 9 x 9 .
Tentukan
negasi dari kalimat berikut :
1.
Dina menyukai coklat .
2.
Gilang menangis.
Penyelesaian
:
1.
Misalkan n : Dina menyukai
coklat
Misalkan
m : Dina tidak menyukai coklat
2.
Misalkan n : Gilang
menangis
Misalkan
m : Gilang tidak menangis
Tentukan
pasangan kalimat berikut ini saling negasi atau tidak !
1.
“Nanty menangis “ dan
“Nanty sedih”
2.
“Rumah itu bersih” dan
“Rumah itu kotor”
Penyelesaian
:
1.
Saling tidak negasi ,
karena negasi dari “Nanty menangis” adalah “Nanty tidak menangis” . Nanty tidak
menangis belum tentu nanty sedih, mungkin saja gembira .
2.
Saling negasi , karena
negasi dari “rumah itu bersih” adalah “rumah itu tidak bersih” . Rumah itu
tidak bersih sama artinya dengan rumah itu kotor.
Pernyataan majemuk merupakan gabungan dari
pernyataan-pernyataan tunggal (yang disebut komponen dari pernyataan majemuk )yang dihubungkan dengan kata hubung
logika seperti dan, atau, jika…maka…dan…jika dan hanya jika.
Nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk ditentukan hanya oleh nilai
kebenaran dari masing-masing komponennya .Oleh karena itu , antara
masing-masing komponen boleh tidak ada hubungan.
1. DISJUNGSI (ATAU)
Disjungsi
adalah dua pernyataan p dan q yang dapat dibentuk suatu pertanyaan majemuk
dalam bentuk “p atau q” . Dan
dinotasikan dengan p v q.
Pernyataan
p v q bernilai benar apabila p saja benar , q saja benar atau keduanya. Dengan kata lain p v q
bernilai benar apabila ada yang bernilai benar, dalam hal lainnya p v q
bernilai salah.
Table
kebenaran Disjungsi
|
P
|
q
|
P
v q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
B
|
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
S
|
Negasi
dari disjungsi
Negasi
dari pernyataan majemuk “p v q” adalah
suatu pernyataan majemuk baru yang diperolh dari “p v q“ sedemikian sehingga
bernilai benar jika “p v q” benilai salah, dan sebaliknya.
Contoh :
a.
4 bilangan ganjil atau 5
bilangan prima.
b.
15 × 2 = 30 atau 12 × 20 =
240
c.
25 × 3 = 66 atau 24 × 5 = 120 Pembahasan :
a.
4 bilangan ganjil bernilai
SALAH
5
bilangan prima bernilai
BENAR
karena
ada yang bernilai benar, maka pernyataan majemuk “4 bilangan ganjil atau 5
bilangan prima” bernilai SALAH.
b.
15 × 2 = 30 bernilai BENAR
12 × 20 = 240 bernilai BENAR
Karena
keduanya bernilai benar , maka pernyataan majemuk “15 × 2 = 30 atau 12 × 20 =
240” bernilai BENAR
c.
25 × 3 = 66 bernilai SALAH
24
× 5 = 130 bernilai SALAH
Karenatidak
ada yang bernilai benar , maka pernyataan majemuk ” 25 × 3 = 66 atau 24 × 5 = 130” bernilai SALAH
Contoh:
a.
Tentukan negasi dari
pernyataan :
Gilang
makan atau mama masak”
Pembahasan:
a.
Negasi dari “gilang makan
atau mama masak” adalah “gilang tidak makan dan mama tidak masak”
2. KOSJUNGSI ( DAN )
Kosjungsi
(dan) adalah dua pernyataan p dan q yang dapatdibentuk suatu pernyataan majemuk
dalam bentuk “p dan q”. Dan konjugasi dinotasikan dengan
p
q. Pernyataan p
q bernilai salah
apabila ada di antara p dan q bernilai salah , dalam hal lainnya p dan q
bernilai benar.
Tabel kebenaran
konjugasi
|
P
|
Q
|
p q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
S
|
S
|
Negasi
dari konjugasi
Negasi
dari pernyataan majemuk
Negasi
dari pernyataan majemuk “p q” adalah pernyataan majemuk baru yang
diperoleh dari “p q”
sedemikian sehingga berrnilai jika “p 
q” salah dan
sebaliknya.
Contoh
:
a.
9 bilangan genap dan 3
bilangan ganjil
b.
2 
5 =10 dan 3
4 =12
Pembahasan
:
a.
9 bilangan genap bernilai
SALAH
2
bilangan ganjil bernilai
BENAR
Karena
ada yang bernilai salah , maka pernyataan “ 9 bilangan genap dan 3 bilangan
ganjil” bernilai SALAH
b.
2 
bernilai BENAR
3
bernilai BENAR
Karena
tidak ada yang bernilai SALAH maka pernyataan “2 5 = 10 dan 3 
4 = 12” bernilai BENAR
.
Contoh
:
a.
Negasi dari pernyataan
:
4
+ 5 = 9 dan 4
5 = 20
Pembahasan:
a.
Negasi dari “4 + 5 = 9
dan 4 5 = 20” adalah
3. IMPLIKASI
Implikasi
adalah pernyataan p dan q yang dapat membentuk suatu pernyataan majemuk jika
dalam bentuk “jika p maka q”. dan dinotasikan dengan p
q . pernyataan p q bernilai salah jika p bernilai benar dan q
bernilai salah, dalam hal lainya bernilai benar.
Table kebenaran
Implikasi
|
P
|
q
|
p
 q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
Perlu diingat !
B 
S sama dengan S, dalam hal lainya B.
Negasi dari Implikasi
Negasi
dari pernyataan p q adalah pernyataan majemuk baru yang nilai
kebenarannya berlawanan dengan p q. dapat disumpulkan bahwa negasi dari
pernyataan p q adalah p 
q. Dan selalu mempunyai nilai kebenaran yang
berlawanan.
Contoh :
a.
Tentukan nilai
kebenaran dari pernyataan majemuk :
(1.)
Jika 9 + 5 = 14 , maka
5 + 5 =16
(2.)
Jika 6 + 7 = 12 , maka
6 + 9 = 15
Penyelesaian :
a.
(1.) 9
+ 5 = 14 5 + 5 = 16
B S
Karena
berbentuk B S maka pernyataan tsb bernilai SALAH.
(3.)
6 + 7 = 12 6 + 9 = 15
S B
Karena tidak berbentuk B S, maka pernyataan tsb bernilai BENAR.
b.
Tentukan negasi dari :
5+ 7 =12 
6 + 6 = 12
Penyelesaian :
Negasi dari “5+ 7 =12 6 + 6 = 12” adalah
“5 + 7 = 12 6 + 6 
12”
4. Biimplikasi
Biimplikasi
adalah Dua pernyataan p dan q yang dapat membentuk suatu pernyataan majemuk
dalam bentuk “p jika hanya jika q”. dan dinotasikan sebagai p 
q.
Bimplikasi
atau ekiuvalensi artinya mempunyai nilai sama , sehingga p q bernilai benar
apabila p dan q bernilai sama, dalam hal lainya bernilai salah.
Table kebenaran
biimpikasi
|
P
|
q
|
p q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
S
|
B
|
Negasi dari biimplikasi
Negasi
dari pernyataan p q adalah pernyataan
majemuk baru yang nilai kebenaranya berlawanan p q. Dengan demikian ,
dapat disimpulkan bahwa negasi dari pernyataan p q adalah (p 
q ).
Contoh
:
Tentukan nilai
kebenaran pernyataan berikut:
a.
6 + 8 = 14 
5 + 7 = 12
b.
4 + 6 = 8 9 + 8 = 19
Pernyataan :
a.
6 + 8 = 14 5 + 7 = 12
B B
Karena
bernilai sama , maka pernyataan tersebut bernilai BENAR.
b.
4 + 6 = 10 9 + 8 = 19
B S
Karena
tidak bernilai sama , maka pernyataan tersebut bernilai SALAH .
c.
P(x) : x ganjil , berarti
P = (1,3,5 ….)
Q(x):
2x genap , berarti Q = ( 1, 2 ,3 ...)
Karena
P Q , maka pernyataan
p(x) q(x) bernilai salah .
d.
P(x) : x positif
artinya x 
0, berarti P = { X | X 0 }
Q(x)
: 2x positif artinya 2x > 0
x > 0
berarti Q ={ X | X 0 }
karena
P = Q, maka pernyataan p(x)
q(x) bernilai BENAR.
Suatu
pernyataan implikasi dapat ditulis dalam bentuk
“p
q” atau dalam bentuk “ jika p maka q” . Dari
pernyataan implikasi tersebut kita dapat membentuk tiga pernyataan implikasi
lain yang berkaitan dengannya , yaitu :
Pernyataan
asal : p q ( jika p maka q )
Konvers : q p ( jika q maka p )
Pokok
permasalahan disini adalah bukan BENAR atau SALAH , tetapi masalah penamaan .
Kalau di balik namanya KONVERS atau
konversi, kalau dinegasikan namanya INVERS
atau inverse, dan kalau dinegasikan dari belkang namanya KONTRAPOSISI atau kontrapositif seperti
ditunjukan dalam skema berikut.
q
p
|
|
p
q
|
|
konvers
kontrapositif
invers invers
konvers
Table
kebenaran
|
p
|
q
|
 p
|
q
|
p
q
|
|
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
Implikasi
dan kontraposisi adalah ekuivalen. Begitu juga
dengan invers dan konvers .
contoh 1 :
Tuliskan
konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan “ jika saya ngantuk, maka
saya tidur “!
Pembahasan :
Pernyataan
asal : Jika saya ngantuk, maka saya tidur.
Konvers
:jika saya tidur, maka saya ngantuk.
Invers :
jika saya tidak ngantuk, maka saya tidak tidur.
Kontraposisi
: jika saya tidak tidur maka saya tidak ngantuk.
Contoh 2 :
tentukan
suatu pernyataan yang ekuivalen dengan “ jika gilang pintar maka mamah senang “
pembahasan :
karena
implikasi dan kontraposisi adalah ekuivalen , maka pernyataan yang ekuivalen
dengan “ jika gilang pintar dan mamah senang “ adalah kontraposisinya yaitu : “
jika mamah tidak senang maka gilang tidak pintar”
Ada beberapa pernyataan majemuk yang
selalu bernilai salah dan bernilai benar seperti yang terlihat pada table di
bawah ini :
|
p
|
~p
|
p ~ p
|
P
~
p
|
|
B
|
S
|
B
|
S
|
|
B
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
S
|
Pernyataan majemuk yang selalu bernilai
benar disebut TAUTOLOGI dan yang
selalu bernilai salah disebut KONTRADIKSI.
Pernyataan majemuk yang bukan tautology dan kontradiksi di sebut KONTINGENSI.
Contoh :
Nyatakan pernyataan berikut merupakan
tautologi ,kontradiksi, atau kontingensi!
1.
p ⇔
~p
2.
p ~p
3.
(p q) q
Pembahasan
:
untuk menentukan pernyataan majemuk di
atas berbentuk tautologi, kontradiksi atau kontingensi, maka terlebih dulu
perhatikan table kebenaran berikut !
|
p
|
~p
|
p
⇔
~p
|
p ~p
|
q
|
P
q
|
(p
q)
q
|
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
a.
Karena pernyataan p ⇔ ~p selalu bernilai
salah maka ,maka
pernyataan p ⇔ ~p merupakan
kontradiksi.
b.
Karena
pernyataan p ~p pernah bernilai benar
dan bernilai
salah maka pernyataan p ~p merupakan kontingensi.
c.
Karena
pernyataan (p
q)
q selalu bernilai benar
maka
pernyataan (p q)
q merupakan tautology.
Kuantor
berarti pengukur kuantitas atau jumlah. Kata yang merupakan kuantor di
antaranya semua, seluruh, setiap, tanpa
kecuali, ada, beberapa dan sebagainya. Kuantor dapat digunakan untuk
mengubah suatu kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan yang disebut pernyataan
berkuantor.
Kuantor dibagi menjadi 2 bagian,
yaitu kuantor khusus ( kuantor eksistensial) dan kuantor umum ( kuantor
universal ).
1. Kuantor khusus
(kuantor eksistensial )
kuantor
khusus ( kuantor eksistensial ) artinya pengukur jumlah yang menunjukan
keberadaan . contohnya : ada, beberapa,
terdapat, atau, sekurang-kurangnya
satu. Kuantor khusus dilambangkan dengan 
.
Jika
P(x) adalah kalimat terbuka pada suatu himpunan semesta S , maka dengan
menambahkan kuantor khusus akan diperoleh pernyataan:
Dibaca ada
x anggota S sehingga P(x).
Pernyataan
S , P()
bernilai
benar apabila ada atau terdapat sekurang-kurangnya satu nilai 
S yang menyebabkan P(x)
bernilai benar , dalam hal lainya S , P()
bernilai
salah.
2. Kuantor umum ( kuantor
Universal )
Contoh
kuantor umum ( kuantor universal ) di antaranya untuk semua, untuk setiap, untuk tiap-tiap, seluruh, atau tanpa kecuali. Kuantor umum dilambangkan
dengan 
.
Jika
P(x) adalah kalimat terbuka pada suatu himpunan semesta S, mak dengan
menambahkan kuantor umum akan diperoleh pernyataan:
Dibaca
untuk semua x anggota S berlaku P(x).
Pernyataan 
S, P(x) bernilai
salah apabila ada nilai
S yang menyebabkan P(x)
bernilai salah , dalam hal lainnya S, P(x) bernilai
benar.
Negasi
Pernyataan berkuantor
Negasi dari pernyataan berkuantor dapat
dengan mudah ditentukan yakni dengan menambahkan kata TIDAK di depan kuantor.
Contoh
:
Tentukan nilai kebenaran dari
pernyataan berikut:
1.
Ada bilangan prima yang
merupakan bilangan genap.
2.
Beberapa binatang mamalia.
Pembahasan
:
1. Karena
ada bilangan prima yaitu 2 yang merupakan bilangan genap, maka pernyataan “ ada
bilangan prima yang merupakan bilangan genap “ bernilai BENAR.
2.
Karena ada beberapa
binatang seperti gajah, lumba-lumba , sapi, dan kuda maka pernyataan “ ada
beberapa binatang mamalia “ bernilai BENAR.
Dalam penarikan kesimpulan diperlukan
beberapa pernyataan yang diasumsikan benar terjadi yang disebut PREMIS. Proses
penarikan kesimpulan dikatakan SAH (VALID) jika implikasi dari premis-premis
dengan kesimpulan atau konklusi merupakan tautology.
Dalil-dalil dalam logika yang sering
dipakai dalam menarik kesimpulan dari dua pernyataan adalah modus ponens, modus tollens, dan silogisme.
1. Modus Ponens
Permasalahan yang
muncul pada modus Pones adalah jika p maka q berrnilai benar , p bernilai benar
, maka apa yang dapat disimpulkan tentang q ? untuk mengetahui apa yang
dapat disimpulkan tentang q, kita
kembali ke definisi atau ke table kebenaran .
|
P
|
q
|
p q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
Jika p q bernilai benar dan p bernilai benar ,maka
dari table didapat bahwa q bernilai benar. Rumusan modus ponons tersebut
ditulis sebagai:
Premis 1: jika p dan q
( benar ) p
q
Premis 2: p (benar ) p
atau
konklusi :
q
(benar ) q
cara penarikan
kesimpulan dengan modus ponens sah karena pernyataan [(p q) p ] q merupakan tautology .
contoh
:
tentukan kesimpulan
dari pernyataan berikut
1.
Jika x bilangan prima maka
x mempunyai dua factor, 7 bilangan prima
Pembahasan
:
Premis
1 : jika x bilangan prima maka x mempunyai dua faktor .
Premis
2 : 7 bilangan prima .
Konklusi : 7 mempunyai dua faktor.
2. Modus Tollens
Permasalahan
yang muncul pada modus tollens adalah jika p maka q bernilai benar , ~q
bernilai benar , maka apa yang dapat disimpulkan tentang ~p ? untuk mengetahui
apa yang dapat disimpulkan tentang ~p, maka lebih dahulu kita buat tabel
kebenarannya .
|
P
|
q
|
p q
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
Jika
p q bernilai benar dan ~q bernilai benar ( q
bernilai salah), maka dari tabel didapat bahwa salah atau ~p bernilai benar.
Rumusan
modus tollens tersebut ditulis sebagai berikut.
Premis
1 :jika p maka q ( benar )
p q
Premis 2 : jika ~q
( benar ) atau ~q
Konklusi : ~ q
( benar ) ~ p
Cara penarikan kesimpulan dengan
modus tollens sah karena pernyataan [( p q) ~]
merupakan tautologi.
Contoh :
Tentukan
kesimpulan dari pernyataan-pernyataan berikut !
Jika
x bilangan prima maka x mempunyai dua factor , 4 tidak mempunyai dua factor.
Penyelsaian :
Premis 1: jika x bilangan prima , maka x mempunyai dua
factor
Permis 2 : 4 tidak mempunyai dua factor.
Konkluksi
: 4 bukan bilangan prima
3. Silogisme
Permasalahan
yang muncul pada silogisme adalah jika p maka q bernilai benar dan jika q maka r bernilai benar, maka apa
yang akan disimpulkan tentng jika p maka r ?
Table
kebenaran
|
p
|
q
|
r
|
p q
|
q r
|
P r
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
Jika
p maka q bernilai benar dan jika q maka r bernilai benar , maka dari table di
atas didapat bahwa jika p maka r bernilai benar.
Permis
1 : jika p maka q ( benar ) p
q
Permis
2 : jika q maka r ( benar ) atau q r
Konkluksi
:
jika p maka r ( benar ) p r
Cara penarikan kesimpulan dengan
silogisme sah karena pernyataan [(p q)(q r)] ( p r ) merupakan tautology.
Contoh :
Tentukan
kesimpulan dari pernyataan berikut :
Jika -4 = 0 maka
(x-2)(x+2)=0
Jika (x-2)(x+2)=0 maka x=2 atau
x=-2
Pembahasan :
Permis 1: Jika -4 = 0 maka
(x-2)(x+2)=0
Permis 2: Jika (x-2)(x+2)=0 maka
x=2 atau x=-2
Konkluksi : jika -4 = 0, maka x=2 atau
x= -2.
